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js的最大有效数字为什么是 $2^{53} - 1$

JavaScript 中的所有数字都是用 64 位的 IEEE 754 双精度浮点数表示的。

IEEE 754 双精度浮点数

双精度浮点数由三个部分组成：

$(- 1)^{sign} \times (1. fraction) \times 2^{exponent - 1023}$

其中：

sign（符号位）：1 位，用于表示数值的正负。0 表示正数，1 表示负数。
exponent（指数部分）：11 位，用于表示数值的数量级。它决定了浮点数的规模，通过对 11 位的二进制数进行偏移表示（即对指数加上一个偏移量，称为 bias）。
fraction（尾数部分）：52 位，有效位数，也称为尾数，表示数值的精度。

指数部分的具体作用

指数部分是一个 11 位的无符号整数，表示的范围是 0( $2^{0}$ ) 到 2047( $2^{11} - 1$ )。但指数实际上表示的是浮点数的二进制指数部分。因此，为了表示正负指数，采用偏移量（bias）的方式来表示。对于双精度浮点数，bias 是 1023。

样例说明

实际指数值 = 存储的指数值 - 偏移量（1023）

如果指数部分存储的是 0（即二进制的 00000000000），则实际指数是 0 - 1023 = -1023，此时通常用于表示特殊值，如次正规数或零。
如果指数部分存储的是 1023（即二进制的 01111111111），则实际指数是 1023 - 1023 = 0，表示的是 $2^{0}$ ，即数字的值不需要放大或缩小。
如果指数部分存储的是 1024，则实际指数是 1024 - 1023 = 1，表示的是 $2^{1}$ ，即数字的值需要乘以 2。
如果指数部分存储的是 1022，则实际指数是 1022 - 1023 = -1，表示的是 $2^{- 1}$ ，即数字的值要缩小两倍。
如果指数部分存储的是 0（即二进制的 11111111111），则实际指数是 2047 - 1023 = 1024，此时通常通常用于表示特殊值，如无穷大 或 NaN。

由于 11 位可以表示的二进制数范围是 0 到 2047，而通过偏移量 1023，除去特殊位（当存储指数位为 $0$ 和 2047(即 $2^{11} - 1$ )）时，我们可以表示的实际指数范围是： −1022 (最小，即 1-1023) 到 1023 (最大，即 2046 - 2023)。

可以看出双精度浮点数在 JavaScript 中可以表示非常大的数值范围，但是在超过安全整数范围时，可能会出现精度丢失的原因。

那么问题来了，最大的安全整数为什么为 Math.pow(2,53) - 1 呢？

由公式

$(- 1)^{sign} \times (1. fraction) \times 2^{exponent - 1023}$

可以得知 fraction（尾数部分） 最大为 52 位数，再加上前面 1（由于 IEEE 754 标准在尾数部分隐含了一个“1”（规范化数的前导 1），因此尾数实际上具有 53 位的精度。）， $2^{exponent - 1023}$ 本质上可以看作右移的偏移量（由上可知最大可右移 1023 ）。那么有效位数决定了浮点数可以精确表示的整数的范围。对于 53 位有效位数来说：

最大可以表示的精确整数范围是从 $- 2^{53} + 1$ 到 $2^{53} - 1$ 。

Contributors

XiSenao

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