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js的最大安全数字为什么是 $2^{53} - 1$

javascript 中的所有数字都是用 64 位的 IEEE 754 双精度浮点数表示的。

IEEE 754 双精度浮点数

双精度浮点数由三个部分组成：

$(- 1)^{sign} \times (1. fraction) \times 2^{exponent - 1023}$

其中：

sign（符号位）：1 位，用于表示数值的正负。0 表示正数，1 表示负数。
exponent（指数部分）：11 位，用于表示数值的数量级。它决定了浮点数的规模，通过对 11 位的二进制数进行偏移表示（即对指数加上一个偏移量，称为 bias）。
fraction（尾数部分）：52 位，有效位数，也称为尾数，表示数值的精度。

指数部分的具体作用

指数部分是一个 11 位的无符号整数，表示的范围是 0( $0$ ) 到 2047( $2^{11} - 1$ )。但指数实际上表示的是浮点数的二进制指数部分。因此，为了表示正负指数，采用偏移量（bias）的方式来表示。对于双精度浮点数，bias 是 1023。

样例说明

实际指数值 = 存储的指数值 - 偏移量（1023）

如果指数部分存储的是 0（即二进制的 00000000000），则实际指数是 0 - 1023 = -1023，此时通常用于表示特殊值，如次正规数或零。
如果指数部分存储的是 1023（即二进制的 01111111111），则实际指数是 1023 - 1023 = 0，表示的是 $2^{0}$ ，即数字的值不需要放大或缩小。
如果指数部分存储的是 1024，则实际指数是 1024 - 1023 = 1，表示的是 $2^{1}$ ，即数字的值需要乘以 2。
如果指数部分存储的是 1022，则实际指数是 1022 - 1023 = -1，表示的是 $2^{- 1}$ ，即数字的值要缩小两倍。
如果指数部分存储的是 2047（即二进制的 11111111111），则实际指数是 2047 - 1023 = 1024，此时通常通常用于表示特殊值，如无穷大 或 NaN。

11 位无符号整数可以表示的范围是 0 到 2047，指数位 $2^{exponent - 1023}$ 可以表示的范围是 $2^{- 1023}$ 到 $2^{1024}$ ，除去边界的特殊值(当指数位存储 0 和指数位存储 2047 时，即有效区间 [1, 2046])，则可以表示的范围是 $2^{- 1022}$ 到 $2^{1023}$ 。

可以看出双精度浮点数在 JavaScript 中可以表示非常大的数值范围，但是在超过安全整数范围时，可能会出现精度丢失的原因。

那么问题来了，最大的安全整数为什么为 Math.pow(2,53) - 1 呢？

由公式

$(- 1)^{sign} \times (1. fraction) \times 2^{exponent - 1023}$

可以得知 fraction（尾数部分） 最大为 52 位数，再加上前面 1（由于 IEEE 754 标准在尾数部分隐含了一个 1（规范化数的前导 1），因此尾数实际上具有 53 位的精度。）。指数位( $2^{exponent - 1023}$ )由上可知最大有效值为 $2^{1023}$ (意味着右移 1023 位)，那么理论上双精度浮点数可以表示的最大值为 $(- 1)^{0} \times (1. (52 位)) \times 2^{1023}$ 。

这里需要注意一点，双精度浮点数整数的安全精度是由尾数位( $1. fraction$ )决定的：

bash

1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000

通过指数位右移 52 位：

bash

10000000000000000000000000000000000000000000000000000

可知最大的安全位数为 53 位。

那么最大可以表示的精确整数范围是从 $- 2^{53} + 1$ (Number.MIN_SAFE_INTEGER) 到 $2^{53} - 1$ (Number.MAX_SAFE_INTEGER)。

那么最大可以表示的精确整数范围是 $- 9007199254740991$ 到 $9007199254740991$ 。

Number.isSafeInteger(2 ** 53 - 1); // true
Number.isSafeInteger(2 ** 53); // false
Number.isSafeInteger(-(2 ** 53) + 1); // true
Number.isSafeInteger(-(2 ** 53)); // false

当整数超过 $2^{53} - 1$ 时，由于只有 53 位的精度，相邻整数间的差值可能无法在浮点表示中区分开。例如：

console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1); // 9007199254740992
console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2); // 9007199254740992
console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 === Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2); // true

与位运算的区别

javascript 中的位运算是一个特殊的操作集合，与普通算术运算有本质区别。在执行位运算时，javascript 会将操作数转换为 32 位有符号整数(而非 64 位浮点数)，因此位运算的安全数值范围为 [- $2^{31} + 1$ , $2^{31} - 1$ ] 中的整数。

这是与 javascript 常规运算的第一个关键区别：

// 常规算术运算使用64位浮点数
console.log(9007199254740991 + 1); // 9007199254740992

// 位运算会先转换为32位整数
console.log(9007199254740991 | 0); // -1 (截断到32位)

位运算时的转换遵循以下规则：

将操作数转换为整数，忽略小数部分。
将整数截断为 32 位。
执行位运算。
结果仍保持为 32 位整数。

// 小数部分被截断
console.log(5.7 & 3.2); // 1 (5 & 3 = 1)

// 大于32位的整数被截断
console.log((2 ** 32 + 1) << 1); // 2 (而非 2 ** 33 + 2)

根据 ECMAScript 规范，位运算符会对操作数应用 ToInt32 抽象操作。这意味着：

非数值会被转换为数值（类似 Number()）。
数值会被转换为 32 位有符号整数。
NaN 和 Infinity 会被转换为 0。
小数部分被直接丢弃（向 0 取整）。

// 非数值的转换
console.log('5' & 3); // 1 (字符串"5"转换为数字5)
console.log(true << 2); // 4 (true转换为1，左移2位)

// NaN和Infinity的处理
console.log(NaN >>> 1); // 0
console.log(Infinity & 1); // 0

特性	一般运算	位运算
数值表示	64位双精度浮点数	32位有符号整数
精度范围	±(2^53-1)	±(2^31-1)
小数支持	支持	不支持（自动截断）
NaN/Infinity处理	支持	转换为0

位运算的性能特性

位运算在现代 JavaScript 引擎中并不总是比算术运算更快。V8 等引擎的优化已使算术运算非常高效。但位运算在以下情况依然有优势：

// 取整操作
const x = 25.9;
// 位运算方式
console.log(x | 0); // 25 (Math.floor(x))

// 判断奇偶
console.log(7 & 1); // 1 (奇数)
console.log(8 & 1); // 0 (偶数)

// 乘除法替代
console.log(8 << 1); // 16 (8 * 2)
console.log(8 >> 1); // 4 (8 / 2)

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XiSenao

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